連鎖悖論與含混言辭


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2015年,港媒報導香港政府的四大基建超支逾900億,社會譁然,因為超支數目實在龐大。不難想像,若只超支1、2元,大眾的反應定然有別。有趣的是,我們其實可組織一個連鎖論證,證明900億超支不多。這組論證的第一步很簡單:

超支1元只超支很少
如果超支1元只超支很少,超支2元也只超支很少
是故,超支2元只超支很少

首先,我們應該都同意超支1元只是小超支。再者,如果1元是小超支,沒有理由2元會忽然變成不小的超支,所以,如果1元是小超支,2元也是小超支。由此可見,超支2元是小超支。然而,依同樣思路推論下去,連900億超支也是小超支:

是故,超支2元只超支很少
如果超支2元只超支很少,超支3元也只超支很少
是故,超支3元只超支很少
如果超支3元只超支很少,超支4元也只超支很少
是故,超支4元只超支很少
如果超支4元只超支很少,超支5元也只超支很少
是故,超支5元只超支很少
 ⋮
如果超支99元只超支很少,超支100元也只超支很少
是故,超支100元只超支很少
 ⋮
如果超支89,999元只超支很少,超支90,000元也只超支很少
是故,超支90,000元只超支很少
 ⋮
是故,超支9,000,000元只超支很少
 ⋮
是故,超支90,000,000,000元只超支很少

900億超支顯然並非小超支。退一步來說,即使接受900億超支是小超支,我們也不應該接受這組論證,因為這組論證可再延續,隨之連9兆、9京都是小超支。事實上,這組論證可濃縮成三個句子:

(一)
超支1元只超支很少
對於任何數目n,如果超支n元只超支很少,超支n+1元也只超支很少
是故,超支多少錢都只超支很少

第一個前提難以反對。要反對第二個前提也不容易,因為反對第二個前提就等於主張:

至少有個數字n,超支n元只超支很少,但超支n+1元實非只超支很少

換言之,反對第二個前提等於主張有一條明確界線可以劃分「小超支」和「不是小超支」,但這樣的界線實在難以想像。這兩個前提推導出的結論相當荒謬,因為有些超支的金額顯然不可稱為「只超支很少」。

這其實是連鎖悖論(sorites paradox)的例子,傳統的沙堆悖論是另一個例子:

(二)
1粒沙無法形成沙堆
對於任何數目n,如果n粒沙無法形成沙堆,則n+1粒也無法形成沙堆
因此,再多的沙都無法形成沙堆

著名的 Wang’s Paradox ,同樣是連鎖悖論的個例:

(三)
1是小數字
對任何數字n,如果n是小數字,則n+1也是小數字
因此,所有數字都是小數字

值得一提的是, Wang’s paradox 來自著名的邏輯學家王浩(Wang Hao)。王浩本來只是用這個例子示範連鎖悖論,但由於圈內不少人都接著用「Wang’s Paradox」來稱呼這個例子,加上著名哲學家 Michael Dummett 以此為題寫了一篇文章探討數學哲學,所以不少人討論這個例子喜用「Wang’s Paradox」,而不是「sorites paradox」(連鎖悖論)。

這幾個連鎖悖論同樣用了含混詞(vague term)。甚麼是含混詞?「高」、「矮」、「肥」、「瘦」、「冷」、「熱」、「老」、「幼」是標準的含混詞,全都可以用來製造連鎖悖論,譬如:

(四)
身高2米是長得高
對任何身高n,如果身高n毫米是高,則身高n-1毫米也是高
是故,身高1毫米也是長得高

令「X」為某含混詞。一般而言,「X」具有三個特徵:一,有些例子明顯是X;二,有些例子明顯不是X;三,有些例子不清楚是否X。比如「高」便符合這三個特徵:有些人明顯是高的,有些人明顯不是高的,也有些人不清楚算不算高。「超支很小」、「可形成沙堆」、「小數字」都有這三個特徵。

含混詞的第三個特徵令「明顯是X」和「明顯不是X」之間難以劃出一條明確界線,繼而使連鎖悖論的第二個前提難以推翻。要看出這點,大可用「富翁」和「百萬富翁」做個比較。首先,我們可用「富翁」這個詞來組織一個連鎖悖論:

(五)
有900萬的人是富翁
對於任何數目n,如果有n元的人是富翁,則有n-1元的人也是富翁
是故,有1元的人是富翁

我們難以在「富翁」和「不是富翁」之間找出明確界線,繼而難以推翻第二個前提。可是,若是將「富翁」改成「百萬富翁」,這論證便有明顯的瑕疵。

(六)
有900萬的人是百萬富翁
對於任何數目n,如果有n元的人是百萬富翁,則有n-1元的人也是百萬富翁
是故,有1元的人是百萬富翁

有1,000,000元是百萬富翁,但有999,999元不是百萬富翁;第二個前提明顯錯了。因為「百萬富翁」有明確界線(即,100萬),不符合含混詞的第三個特徵,令論證(六)的第二個前提出問題。相反,「富翁」符合含混詞的三個特徵,因此我們難以說論證(五)的第二個前提為假。

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