三類悖論

1.

十九世紀的數學家 Augustus De Morgan 提出一個推論出 2=1 的數學證明:

假設 $x=1$。故 $x^2=x$ 。由此:
⇒ $x^2-1=x-1$
⇒ $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}$
⇒ $x+1=1$
⇒ $2=1$

這證明的每個步驟看起來都是恰當的,但結論 2=1 顯然悖理。到了當代,問題所在已昭然若揭:第二個步驟是錯誤的,因為這步除以 x-1 ,其實就是除以 0 。

2.

假設有楝酒店,裡面有無限多間房,不過每個房間都已有租客入住。若果此時有新客戶找上門,這間酒店有沒有空房給他?

既然所有房間都已有租客,直覺上答案是「不可以」,事實上答案卻正好相反。答「可以」貌似荒謬,但同樣有個簡單易懂的「證明」:酒店可以將目前所有租戶遷往後一間房,騰空第一間,讓新客戶入住。由此可證見,一間擁有無限多房間的酒店,即使已經客滿,隨時也可容納新的客戶。

via Designboom

2=1 的證明和無限酒店的例子都一度被稱為「悖論」 (paradox) ,但兩者性質迴然大異。在第一個例子,結論 2=1 無論如何也難以接受,後來肯定問題出在其中一個前提──出在「除以 0 」這一步。這一類悖論甚至可視為歸謬法 (reductio ad absurdum) ,由於結論極為荒謬,可反推出前提或推論過程出了岔子。第二個例子的結論貌似荒謬,但後來發現,要恰當地理解「無限」 (infinity) 這個概念,便應將之視為當然:無限住客多加一個,依然是同樣無限多的住戶。只是我們過往太少留意到「無限」這個概念的各種特質,乍看之下才會覺得荒謬。

3.

同樣與「無限」關係密切的還有伽利略的悖論 (Galileo’s Paradox) 。自然數由 0 開始,接下來是 1, 2, 3, 4, ... ,有無限多個。偶數也由 0 開始,但接下來是 2, 4, 6, 8, ... ,不過一樣有無限多個。問題:到底是自然數比較多,還是偶數比較多?表面上是自然數比較多,因為自然數包括了偶數和奇數,所以連一些不是偶數的數字──如 1, 3, 5──也在自然數裡。伽利略悖論的離奇之處,正在於指出有方法可以數到自然數和偶數一樣多。方法是,將自然數和偶數從小到大列開,再將兩邊從小到大一一對應:

0
1
2
3
4
5
...
...
0
2
4
6
8
10
...

每個自然數都對應到一個偶數,而且每個偶數都對應到一個自然數,由此可見,兩者的數目其實一樣。「自然數和偶數一樣多」在當時雖然荒誕,在今日卻是集合論的常識。

用 W. V. Quine 的術語說, 2=1 的例子是「證假式悖論」 (falsidical paradox) ──看起來荒謬的命題確是假的;無限酒店和伽利略悖論是「證真式悖論」 (veridical paradox) ──看起來荒謬的命題事實上是真的。

4.

「小陸子芳齡廿一,剛剛過了第五次生日。」此話聽起來荒謬,但充其量是證真式悖論。只要留意到兩點,當中的「荒謬」便不難疏解:一,年齡取決於生存的時間,生日取決於出生日子重覆出現的次數;二,小陸子在二月二十九日出生。

5.

via philosophy.gr

亞基里斯與烏龜賽跑,他讓烏龜先跑的話便永遠也追不上烏龜,因為每當他跑到烏龜剛才的位置,他和烏龜之間便有一段新的距離。亞基里斯與龜的悖論是芝諾 (Zeno) 的四大悖論之一,其結論「亞基里斯追不上烏龜」荒謬,無人會接受。幸好現時的數學已有概念工具解決這個悖論,現時已公詞亞基里斯與龜的悖論是證假式悖論,荒謬的命題始終是假的。

第三類悖論 Quine 稱為「二律背反」 (antinomy) ,意思是「由已接受的思維方式導出矛盾」。“An antinomy produces a self­ contradiction by accepted ways of reasoning” (Quine, 1976, p.5)上面幾個例子,有幾個其實一度是二律背反的例子。亞基里斯與龜的悖論最早由芝諾提出,有段長時間是二律背反,直到幾千年後的數學出現突破,找到悖論的毛病,才將它歸入證假式悖論。以前有不少人將伽利略悖論的結論「自然數與偶數一樣多」視為矛盾,今日的集合論反而接受其結論,已然屬於證真式悖論。

6.

當代還有沒有二律背反?有,而且多不勝數。最有名的例子是說謊者悖論 (Liar Paradox) 。如果你聽到其他人撒謊,要指控他,你大可說「他說的話是假的」。如果你發現自己昨天散播的消息出錯,要公開更正,你大可說「我昨天說的話是錯的」。同樣地,我們顯然也可用「假」或者「錯」來形容自己正在說的話:「我正在說的這句話是假的。」問題在於最後一個情況,所說的如果是真話,便同時是假話,如果是假話,又同時是真話。一方面,似乎沒有理由禁止我們說出這樣的話來,而且沒有理由禁止這些話與其他話一樣有真假;另一方面,容許這句話有意義、有真假,無論如何也導致矛盾。究竟應該接受有真的矛盾句(證真式),還是應該斷定導致悖論的前提有毛病(證假式),目前仍有極大爭議。

7.

說謊者悖論本身有極多版本,但在此以外尚有其他二律背反,例如 Grelling’s Paradox 和 Berry’s Paradox 。這些悖論目前被視為二律背反,但未來隨著人類的知識累積和知慧增長,可能就會被歸到證真式悖論和證假式悖論。

8.

Saul Smilansky 在 10 Moral Paradoxes 探討十個倫理學悖論,使用的是 Quine 的分類方式,不過卻另外加上一種:存在式悖論 (existential paradox) 。此第四類悖論其實是證真式悖論的一種:雖然荒謬的命題事實上是真的,但「荒謬感」卻無論如何也揮之不去。該書十個悖論裡,第九章的 “The Paradox of Moral Complaint” 可謂此類悖論的最佳例子。 Smilansky 要強調的是,有些倫理學悖論雖然可找到「解決」方向,但始絡無法令人心悅誠服地接受荒謬的命題。

悖論當然還有其他分類方法,例如邏輯悖論 (logical paradox) 、語意悖論 (semantic paradox) 、集合論悖論 (set-theoretic paradox) 、自我指涉悖論 (self-referential paradox) 。怎樣為悖論分類,到底還是要視乎當下分類的目的。



References
Smilansky, Saul (2007). 10 Moral Paradoxes. Blackwell Publishing.
Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays. Harvard University Press.

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