2014年10月18日


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「充分條件」(sufficient condition)和「必要條件」(necessary condition)是邏輯和哲學的術語,兩者的意思與條件句相緊扣。由於條件句在日常使用有歧義,連帶這兩個語詞也有歧義。

解釋充分必要條件,總免不了用條件句。試考慮:

(1). 如果偲嫣絕食,則香港人的快樂指數上升

假如 (1) 成立,「偲嫣絕食」便是「香港人的快樂指數上升」的充分條件。由於 (1) 又可說成

(1). 如果香港人的快樂指數沒有上升,則偲嫣沒有絕食

因此又可說「香港人的快樂指數上升」是「偲嫣絕食」的必要條件。在基礎邏輯書,條件句一律解作質料條件句(material conditional),因此充分必要條件也是用質料條件句解釋。「如果 P, 則 Q」的符號是

(I). P→Q

同樣, P 是 Q 的充分條件。由於它與以下這句等值

(I). ∼Q→∼P

因此又可說, Q 是 P 的必要條件。見 Causey (2006, pp. 26, 28-29, 37); Copi, Cohen, and McMahon (2014, p. 325); Hausman (2010, p. 40); Hurley (2006, pp. 24, 306)。質料條件句 P→Q 與 ∼P∨Q 等值,也與 ∼(P∧∼Q) 等值, P→Q 、 ∼P∨Q 、 ∼(P∧∼Q) 在所有可能出現的情況都有一樣真假值。假如「如果 P, 則 Q」是質料條件句,只要事實上 P 不為真,或者,只要事實上 Q 為真,它都會成立。換句話說, (1) 是質料條件句的話,便與以下兩句等值

(1). 偲嫣沒有絕食,或者,香港人的快樂指數上升
(1). 並非,偲嫣絕食而香港人的快樂指數沒有上升

只要事實上偲嫣沒有絕食,或者只要事實上香港人的快樂指數上升, (1) 都會成立,繼而「偲嫣絕食」會是「香港人的快樂指數上升」的充分條件,「香港人的快樂指數上升」會是「偲嫣絕食」的必要條件。這個意思的充分必要條件,完全視乎 P 和 Q 事實上的真假值,與 P 和 Q 可能有的真假值無關。

意思 (I) 的充分必要條件其實十分弱,連以下幾個例子, P 都是 Q 的充分條件,同時 Q 都是 P 的必要條件。

如果拿破崙在滑鐵盧打勝仗,則秦始皇是同性戀
[P: 拿破崙在滑鐵盧打勝仗; Q: 秦始皇是同性戀]

如果哈里發塔比台北101大廈矮,則太陽系只有一個行星
[P: 哈里發塔比台北101大廈矮;Q: 太陽系只有一個行星]

如果張學友舉辦過慈善演唱會,則克林頓和萊溫斯基傳過醜聞
[P: 張學友舉辦過慈善演唱會; Q: 克林頓和萊溫斯基傳過醜聞]

如果IQ博士的作者是鳥山明,則地球是圓的
[P: IQ博士的作者是鳥山明; Q: 地球是圓的]

前兩個例子僅因為 P 事實上是假的,後兩個僅因為 Q 事實上是真的,同樣都使得 P→Q 成立,進而令 P 是 Q 的充分條件,且 Q 是 P 的必要條件。

(I) 是最弱的充分必要條件,同時也是大多邏輯書會用的版本,但仍有邏輯書會觸及另一種較強的充分必要條件。在較強的意思底下, P 要是 Q 的充分條件,或者 Q 要是 P 的必要條件,須得以下這點成立

(II). 必然地,如果 P ,則 Q
(或:不可能, P 且非 Q)

即使事實上 P 不為真,即使事實上 Q 為真,使不足以使 (II) 成立。 (II) 明顯包含了模態詞,要使 (II) 成立,除了 P 和 Q 事實上的真假,還需要兩者的真假有必然連繫。舉例來說,「小明是單身漢」是「小明是男人」的充分條件,同時後者是前者的必要條件,不是因為

(2). 如果小明是單身漢,則小明是男人

而是因為

(3). 必然地,如果小明是單身漢,則小明是男人
(或:不可能,小明雖是單身漢,但卻不是男人)

只要事實上小明不是單身漢,或者事實上小明是男人, (2) 都會成立。但這個意思的充分必要條件太弱,「單身漢」和「男人」之間的連繫需要用模態詞才能捕捉,因此要用 (3) 來理解這個較強的充分必要條件。然而, (II) 的模態詞也有歧義。「必然」可以指「生物學上必然」、「科技上必然」、「物理上必然」、「形上學上必然」、「數學上必然」、「概念上必然」等等,到底是哪個意思,還要視乎脈絡而定。日常條件句的歧義使得「若且唯若」也有歧義, Krikham 便整理了四個意思的「若且唯若」可以肯定的是,有些邏輯書在解釋充分必要條件時,也會明確使用模態詞,以下是三個例子:
Event A is said to be a sufficient condition for event B whenever the occurrence of A is all that is required for the occurrence of B. On the other hand, event A is said to be a necessary condition for event B whenever B cannot occur without the occurrence of A. (Hurley, 2006, p. 306; emphasis mine)
A necessary condition for the occurrence of a specified event is a circumstance in whose absence the event cannot occur. [...] A sufficient condition for the occurrence of an event is a circumstance in whose presence the event must occur. (Copi, Cohen, McMahon, 2014, p. 515; emphasis mine)
To say that X is a necessary condition for Y is to say that the occurrence of X is required for the occurrence of Y (sometimes also called an essential condition). In other words, if there is no X, Y would not exist. [...] If X is a sufficient condition for Y, this means the occurrence of X guarantees the occurrence of Y. In other words, it is impossible to have X without Y. If X is present, then Y must also be present. (Lau, 2011, pp. 33-34; emphasis mine)
前兩段來自 Hurley 與 Copi & Cohen & McMahon 的書,他們用 (II) 來界定充分必要條件。有趣的是,他們的書在前些地方卻是用 (I) 來解釋充分必要條件。參見前面引用 Hurley 與 Copi 書籍的頁數。他們同時採用了較弱意思和較強意思的充分必要條件,但卻沒有將兩者分清楚(甚至,我懷疑他們將兩者混為一談)。第三段來自 Joe Lau 的批判思考書, Joe Lau 在書裡一直用含有模態成分的版本,用法上比 Hurley 與 Copi, etc. 的更一致。

Hurley 與 Copi, etc. 都是很聰明的邏輯學家,到現在我還不肯定自己有否誤讀。(Irving Copi 在 2002 年辭世,其後 Introduction to Logic 依然更新了數版,故 2002 年後變動的內容大抵都與他無關。)但儘管他們真的將兩種意思的充分必要條件混為一談,到底也是情有可原。形式語言的條件句 P→Q 沒有歧義,自然語言的「如果 P, 則 Q 」則不然。

(4). 如果甲攝取了過量水分,甲會水中毒
[P: 甲攝取過量水分;Q: 甲水中毒]

(5). 如果植物在被放在無光的環境,它會無法進行光合作用
[P: 植物在被放在無光的環境;Q: 植物無法進行光合作用]

(6). 如果我們平放兩張一樣的高榙照片,我們會產生其中一楝塔傾斜的錯覺
[P: 我們平放兩張一樣的高榙照片;Q: 我們會產生其中一楝塔傾斜的錯覺]

(7). 如果 p1, p2, p3, ..., pn 都是質數,則 p1, p2, p3, ..., pn 以外尚有其他質數
[P: p1, p2, p3, ..., pn 都是質數;Q: p1, p2, p3, ..., pn 以外尚有其他質數]

自然語言的條件句許多時候都暗藏模態概念。例如, (4) 通常用來表達攝取過量水分在生物學上必然會水中毒; (5) 同樣是生物學上的必然:植物吸收不到光就一定不能進行光合作用; (6) 表達在心理學上,平放高塔照片必然會產生錯覺; (7) 表達的是,對於每個有限的質數集,必定尚有質數不在該集合內。我們理解這些條件句時,常常自動把模態成分加入去,將這些句子的意思解讀得更強。在這幾個例子,我們依然會說 P 是 Q 的充分條件,而且 Q 是 P 的必要條件。 (4) - (7) 表面上沒有模態成分,實質上被解讀成有,因為我們很多時候會用 (4') - (7') 來理解 (4) - (7) :

(4'). 這是生物學上必然的:如果甲攝取了過量水分,甲會水中毒
(5'). 這是生物學上必然的:如果植物在被放在無光的環境,它會無法進行光合作用
(6'). 這是心理學上必然的:如果我們平放兩張一樣的高榙照片,我們會產生其中一楝塔傾斜的錯覺
(7'). 這是數學上必然的:如果 p1, p2, p3, ..., pn 都是質數,則 p1, p2, p3, ..., pn 以外尚有其他質數

Hurley 和 Copi 的書在介紹形式語言時用質料條件句解釋充分必要條件,用了較弱的意思 P→Q 。由於他們的書不是單介紹形式系統,還要解釋怎樣將符號用在日常語言上,於是不時用日常的「如果 P, 則 Q」來解釋質料條件句。日常條件句時常隱含模態,稍一不慎,便會將兩種強弱不同的充分必要條件混為一談。

***

哲學討論用到充分必要條件,甚少將意思限於質料條件句的程度,也就是甚少限於 (I) 的程度。舉個具體例子:在形上學討論「個人等同」(personal identity),其中一種理論主張「甲和乙有一樣的記憶」是「甲和乙是同一個人」的充分條件。用較弱的意思,即是

(8). 如果甲和乙有一樣的記憶,則甲和乙是同一個人
(並非,甲和乙有一樣記憶但不是同一個人)

在較強的意思底下,它會是

(9). 必然地,如果甲和乙有一樣的記憶,則甲和乙是同一個人
(不可能,甲和乙有一樣記憶但不是同一個人)

他們所講的「充分條件」不是 (8) ,而是 (9) 。因為,這個領域的討論經常提到一個反對,這反對要設想一個可能出現的情境,在該情境裡甲和乙雖然有一樣的記憶,但卻不是同一個人。換句話說,這個反對是要指出:

(10). 有可能,甲和乙有一樣記憶但不是同一個人

然而, (10) 和 (8) 沒有衝突;即使 (10) 是真的,也不代表 (8) 是假的。比較: ◇(P∧∼Q) 與 ∼(P∧∼Q) 沒有衝突,兩者可一齊為真。與 (10) 相衝突的是 (9) ;一旦 (10) 為真, (9) 便不是真的。比較: ◇(P∧∼Q) 與 □∼(P∧∼Q) 相矛盾。因此,合理的解釋是,最初講的「充分條件」要用 (9) 來理解。

除此之外,知識論討論「知識」(knowledge)的充分必要條件,考慮的不只是現實情況擁有知識的人同時擁有哪些性質(例如,擁有合理的真信念),更要考慮可能出現的情況裡,擁有知識的人會否有相同性質。 Richard Feldman 的 Epistemology ,幾乎每章都有一堆假設情境,用以反對某些理論對「知識」下的充分必要條件。見 Feldman (2003) 。規範倫理學(normative ethics)研究道德對錯的充分必要條件,由許多反駁可見,倫理學家想要的充分必要條件還要涵蓋有可能出現的情況,例如效益主義對於道德對錯的判斷要涵蓋代罪羊(scapegoat)、車軌問題(trolley problem)等情境。若果這些討論的充分必要條件都沒有模態成分,僅僅是最弱的意思,那麼,這些非現實的情境和例子都會是不相干的。



參考文獻
Causey, Robert (2006). Logic, Sets, and Recursion (2ed). Jones and Bartlett Publishers.
Copi, Irving & Cohen, Carl & McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (14th). Pearson.
Feldman, Richard (2003). Epistemology. Pearson Education, Inc.
Hausman, Alan & Kahane, Howard & Tidman, Paul (2010) Logic and Philosophy A Modern Introduction. Wadsworth.
Hurley, Patrick (2006). A Concise Introduction to Logic (9th). Wadsworth.
Lau, Joe Y. F. (2011). An Introduction to Critical Thinking and Creativity: Think More, Think Better. Wiley.

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