2013年8月5日

我大學時用的邏輯教科書是 Robert Causey 的 Logic, Sets and Recursion (2005, 2nd ed.),到現在仍十分感謝當時老師選用這本書,因為它有兩個特色,令我在邏輯方面的基本功比一般哲學系學生略好一點。

第一個特色是關於寫證明的方法。 Causey 採用的證明系統和大多邏輯書一樣是自然演繹法(natural deduction),但同一個證明,在 Causey 系統的寫法卻與一般邏輯書有所不同。我指的不是他所採用的規則,而是在他系統底下寫證明的方式。舉個例子,一般要證明「(A∨B), (C→∼A) /∴ (C→B)」,寫法大概會是這樣:

1. A∨B(P)
2. C→∼A(P)
3. C(P, for conditional proof)
4. ∼A(2, 3, MP)
5. B(1, 4, DS)
6. C→B(3, 5, C)

Causey 的系統規定要標明每一行來自哪個前提,所以用他的寫法會變成:

{Pr1}1. A∨B(P)
{Pr2}2. C→∼A(P)
{Pr3}3. C(P, for Conditional Proof)
{Pr2, Pr3}4. ∼A(2, 3, MP)
{Pr1, Pr2, Pr3}5. B(1, 4, DS)
{Pr1, Pr2}6. C→B(3, 5, C)

以第 5 行為例,左邊的 {Pr1, Pr2, Pr3} 代表 B 來自第 1 行、第 2 行和第 3 行,亦即是 A∨B 、 C→∼A 和 C 。 Causey 的系統清楚規定甚麼時候要加上前提(例如 1, 2, 3 行,使用 P 規則時),甚麼時候要刪去前提(即一般所謂的 “discharge” ,例如 6 刪掉條件句前項的前提 Pr3 )。依這個寫法,你隨時可以找出每一行預設哪些前提,不需要透過右邊的推論規則逐行檢查。此寫法連帶會有另一個優點:容易看出哪些是定理(theorem),即不需預設任何前提即可推論得到的語句。以「P→P」這定理為例:

{Pr1}1. P(P, for Conditional Proof)
$\varnothing$2. P→P(1, 1, C)

根據 Causey 的規定,第 2 行來自第 1 行,理應寫上 Pr1 ,但由於使用條件證法,要刪去條件句前提的集合,於是又要刪去 Pr1 ,最終會得到空集合。因此, P→P 本身不需預設任何前提,是個定理(雖然證明過程先假設,再刪去前提)。 Causey 的書除了規定何時該加入前提、何時該刪去前提,還花了不少篇幅,解釋這些舉動為何是合理的,絕不會要讀者死記規則。

我知道這個優點其實並非 Causey 一書獨有。印象中,多年前我曾在書局翻過一本中文邏輯書,作者好像(好像!)是林正弘教授,他的系統也有要求著明前提集合。此外,目前較新的邏輯導論書都會將盡量加上某些標示,令使用者更易搞明白哪裡加了、刪了題目未給予的前提。例如 Patrick Hurley 的 A Concise Introduction to Logic (2006, 9th ed., p.408) ,把 subproof 都往右縮,再用直線標示清楚,表示 subproof 一開始假設了前提 ∼Q :


另外也有些書在刪去前提(俗稱 “discharge” )時,特別用線段表示,如 Alan Hausman, Howard Kahane 與 Paul Tidman 合著的 Logic and Philosophy A Modern Introduction (2010, 11th ed., p.139) ,便這樣標示第 4 行已刪去作為假設前提的第 1 行:


提示假設前提、刪去前提的做法,雖非 Causey 獨有,但他的做法依然比一堆書籍更清楚,一開始接觸的是 Causey 的書,仍然令我感到慶幸。

第二個特色是該書的第二章:集合論。絕大多數邏輯導論書都不會講集合論, Causey 全書四章,卻用了一章教集合論。該書的集合論十分淺白簡單,但對我卻有兩個重大幫助。第一,幫助我更深入了解古典邏輯──運用第一章的語句邏輯、掌握第四章的述詞邏輯。到第二章我才發現,原來做集合論的證明可以那樣子運用語句邏輯的規則,也間接幫助理解後來讀的數學證明。在第四章的述詞邏輯,幫助更是直接,非但有助構想模型(model),對理解述詞邏輯的語意規則更是不可或缺(例如,粗略來講, Rab 為真的定義是 <a,b>∈R )。

第二個大幫助在於後來讀模態邏輯、數理邏輯和數學哲學。這幾個領域的書都預設一點集合論背景, Causey 的第二章在讀模態邏輯時尚且堪用,但一到數理邏輯和數學哲學,就完全不敷使用。我數理方面十分拙劣,根本是毫無天賦,為了讀有興趣的書,找了 Herbert Enderton 的 Elements of Set Theory (1977) 苦磨,但若果沒有那簡單淺白的第二章加持,恐怕我連 Elements of Set Theory 的前十頁也過不了。後來我能約略看懂幾本入門書,都得歸功當時讀過 Causey 的第二章。

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