2013年8月22日

之前提到,有兩個二位連詞能以一替五,僅一個就具有五個古典連詞的表達力。作為證明,我也該將定義方法列出來。


根據先前的證明, { ∼, ∧, ∨ } 已足夠定義五個古典連詞由於 { ∼, ∧ } is adqeuate ,理所當然 { ∼, ∧, ∨ } is adequate。,所以,只要那兩個二位連詞能夠定義所有用這三個古典連詞表達的合規式(wff),便證明那兩個二位連詞也有以一替五的能力。用術語說,就是 {|} is adequate 和 {↓} is adequate。

第一個是 sheffer stroke ,「p∣q」或「p↑q」表示「並非: p 和 q」(not-both; nand)。

∼p, ≡, p∣p
p∧q, ≡, (p∣q)∣(p∣q)
p∨q, ≡, (p∣p)∣(p∣p)

第二個是「↓」,箭頭向下,「p↓q」表示「並非: p 或 q」(not-or; nor)。

∼p, ≡, p↓p
p∧q, ≡, (p↓p)↓(q↓q)
p∨q, ≡, (p↓q)↓(p↓q)

之前也曾提過,但也不妨再強調一次:所有二位連詞之中,只有兩個足以各自定義所有古典連詞。二位連詞總共有十六個,只有下表第 9 欄及第 15 欄(藍色背景)的連詞,可以定義五個古典連詞。證明方式較麻煩,須用到數學歸納法。


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